(n-1)(3n+1)=1

Solution for (n-1)(3n+1)=1 equation:

Simplifying
(n + -1)(3n + 1) = 1

Reorder the terms:
(-1 + n)(3n + 1) = 1

Reorder the terms:
(-1 + n)(1 + 3n) = 1

Multiply (-1 + n) * (1 + 3n)
(-1(1 + 3n) + n(1 + 3n)) = 1
((1 * -1 + 3n * -1) + n(1 + 3n)) = 1
((-1 + -3n) + n(1 + 3n)) = 1
(-1 + -3n + (1 * n + 3n * n)) = 1
(-1 + -3n + (1n + 3n2)) = 1

Combine like terms: -3n + 1n = -2n
(-1 + -2n + 3n2) = 1

Solving
-1 + -2n + 3n2 = 1

Solving for variable 'n'.

Reorder the terms:
-1 + -1 + -2n + 3n2 = 1 + -1

Combine like terms: -1 + -1 = -2
-2 + -2n + 3n2 = 1 + -1

Combine like terms: 1 + -1 = 0
-2 + -2n + 3n2 = 0

Begin completing the square.  Divide all terms by
3 the coefficient of the squared term: 

Divide each side by '3'.
-0.6666666667 + -0.6666666667n + n2 = 0

Move the constant term to the right:

Add '0.6666666667' to each side of the equation.
-0.6666666667 + -0.6666666667n + 0.6666666667 + n2 = 0 + 0.6666666667

Reorder the terms:
-0.6666666667 + 0.6666666667 + -0.6666666667n + n2 = 0 + 0.6666666667

Combine like terms: -0.6666666667 + 0.6666666667 = 0.0000000000
0.0000000000 + -0.6666666667n + n2 = 0 + 0.6666666667
-0.6666666667n + n2 = 0 + 0.6666666667

Combine like terms: 0 + 0.6666666667 = 0.6666666667
-0.6666666667n + n2 = 0.6666666667

The n term is -0.6666666667n.  Take half its coefficient (-0.3333333334).
Square it (0.1111111112) and add it to both sides.

Add '0.1111111112' to each side of the equation.
-0.6666666667n + 0.1111111112 + n2 = 0.6666666667 + 0.1111111112

Reorder the terms:
0.1111111112 + -0.6666666667n + n2 = 0.6666666667 + 0.1111111112

Combine like terms: 0.6666666667 + 0.1111111112 = 0.7777777779
0.1111111112 + -0.6666666667n + n2 = 0.7777777779

Factor a perfect square on the left side:
(n + -0.3333333334)(n + -0.3333333334) = 0.7777777779

Calculate the square root of the right side: 0.881917104

Break this problem into two subproblems by setting 
(n + -0.3333333334) equal to 0.881917104 and -0.881917104.

Subproblem 1
n + -0.3333333334 = 0.881917104

Simplifying
n + -0.3333333334 = 0.881917104

Reorder the terms:
-0.3333333334 + n = 0.881917104

Solving
-0.3333333334 + n = 0.881917104

Solving for variable 'n'.

Move all terms containing n to the left, all other terms to the right.

Add '0.3333333334' to each side of the equation.
-0.3333333334 + 0.3333333334 + n = 0.881917104 + 0.3333333334

Combine like terms: -0.3333333334 + 0.3333333334 = 0.0000000000
0.0000000000 + n = 0.881917104 + 0.3333333334
n = 0.881917104 + 0.3333333334

Combine like terms: 0.881917104 + 0.3333333334 = 1.2152504374
n = 1.2152504374

Simplifying
n = 1.2152504374

Subproblem 2
n + -0.3333333334 = -0.881917104

Simplifying
n + -0.3333333334 = -0.881917104

Reorder the terms:
-0.3333333334 + n = -0.881917104

Solving
-0.3333333334 + n = -0.881917104

Solving for variable 'n'.

Move all terms containing n to the left, all other terms to the right.

Add '0.3333333334' to each side of the equation.
-0.3333333334 + 0.3333333334 + n = -0.881917104 + 0.3333333334

Combine like terms: -0.3333333334 + 0.3333333334 = 0.0000000000
0.0000000000 + n = -0.881917104 + 0.3333333334
n = -0.881917104 + 0.3333333334

Combine like terms: -0.881917104 + 0.3333333334 = -0.5485837706
n = -0.5485837706

Simplifying
n = -0.5485837706

Solution
The solution to the problem is based on the solutions
from the subproblems.
n = {1.2152504374, -0.5485837706}