(3z-1)(z+3)=1

Solution for (3z-1)(z+3)=1 equation:

Simplifying
(3z + -1)(z + 3) = 1

Reorder the terms:
(-1 + 3z)(z + 3) = 1

Reorder the terms:
(-1 + 3z)(3 + z) = 1

Multiply (-1 + 3z) * (3 + z)
(-1(3 + z) + 3z * (3 + z)) = 1
((3 * -1 + z * -1) + 3z * (3 + z)) = 1
((-3 + -1z) + 3z * (3 + z)) = 1
(-3 + -1z + (3 * 3z + z * 3z)) = 1
(-3 + -1z + (9z + 3z2)) = 1

Combine like terms: -1z + 9z = 8z
(-3 + 8z + 3z2) = 1

Solving
-3 + 8z + 3z2 = 1

Solving for variable 'z'.

Reorder the terms:
-3 + -1 + 8z + 3z2 = 1 + -1

Combine like terms: -3 + -1 = -4
-4 + 8z + 3z2 = 1 + -1

Combine like terms: 1 + -1 = 0
-4 + 8z + 3z2 = 0

Begin completing the square.  Divide all terms by
3 the coefficient of the squared term: 

Divide each side by '3'.
-1.333333333 + 2.666666667z + z2 = 0

Move the constant term to the right:

Add '1.333333333' to each side of the equation.
-1.333333333 + 2.666666667z + 1.333333333 + z2 = 0 + 1.333333333

Reorder the terms:
-1.333333333 + 1.333333333 + 2.666666667z + z2 = 0 + 1.333333333

Combine like terms: -1.333333333 + 1.333333333 = 0.000000000
0.000000000 + 2.666666667z + z2 = 0 + 1.333333333
2.666666667z + z2 = 0 + 1.333333333

Combine like terms: 0 + 1.333333333 = 1.333333333
2.666666667z + z2 = 1.333333333

The z term is 2.666666667z.  Take half its coefficient (1.333333334).
Square it (1.777777780) and add it to both sides.

Add '1.777777780' to each side of the equation.
2.666666667z + 1.777777780 + z2 = 1.333333333 + 1.777777780

Reorder the terms:
1.777777780 + 2.666666667z + z2 = 1.333333333 + 1.777777780

Combine like terms: 1.333333333 + 1.777777780 = 3.111111113
1.777777780 + 2.666666667z + z2 = 3.111111113

Factor a perfect square on the left side:
(z + 1.333333334)(z + 1.333333334) = 3.111111113

Calculate the square root of the right side: 1.763834208

Break this problem into two subproblems by setting 
(z + 1.333333334) equal to 1.763834208 and -1.763834208.

Subproblem 1
z + 1.333333334 = 1.763834208

Simplifying
z + 1.333333334 = 1.763834208

Reorder the terms:
1.333333334 + z = 1.763834208

Solving
1.333333334 + z = 1.763834208

Solving for variable 'z'.

Move all terms containing z to the left, all other terms to the right.

Add '-1.333333334' to each side of the equation.
1.333333334 + -1.333333334 + z = 1.763834208 + -1.333333334

Combine like terms: 1.333333334 + -1.333333334 = 0.000000000
0.000000000 + z = 1.763834208 + -1.333333334
z = 1.763834208 + -1.333333334

Combine like terms: 1.763834208 + -1.333333334 = 0.430500874
z = 0.430500874

Simplifying
z = 0.430500874

Subproblem 2
z + 1.333333334 = -1.763834208

Simplifying
z + 1.333333334 = -1.763834208

Reorder the terms:
1.333333334 + z = -1.763834208

Solving
1.333333334 + z = -1.763834208

Solving for variable 'z'.

Move all terms containing z to the left, all other terms to the right.

Add '-1.333333334' to each side of the equation.
1.333333334 + -1.333333334 + z = -1.763834208 + -1.333333334

Combine like terms: 1.333333334 + -1.333333334 = 0.000000000
0.000000000 + z = -1.763834208 + -1.333333334
z = -1.763834208 + -1.333333334

Combine like terms: -1.763834208 + -1.333333334 = -3.097167542
z = -3.097167542

Simplifying
z = -3.097167542

Solution
The solution to the problem is based on the solutions
from the subproblems.
z = {0.430500874, -3.097167542}